Orthogonalité d'un plan et d'une droite de l'espace

Définition

Une droite de l'espace est orthogonale à un plan lorsqu'elle est orthogonale à toutes les droites du plan.

Propriété

Une droite de l'espace est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan.

Remarque

Une droite orthogonale à un plan lui est toujours sécante, alors on peut dire que la droite est perpendiculaire au plan.

Exemple

Soit le cube \(\mathrm{ABCDEFGH}\) .

• La droite \(\mathrm{(GC)}\) est perpendiculaire à la droite \(\mathrm{(DC)}\) et à la droite \(\mathrm{(BC)}\) .
  Comme \(\mathrm{(DC)}\) et \(\mathrm{(BC)}\) sont deux droites sécantes du plan \(\mathrm{(ABC)}\) , alors la droite \(\mathrm{(GC)}\) est orthogonale au plan \(\mathrm{(ABC)}\) .
• La droite   \(\mathrm{(GC)}\) est orthogonale au plan \(\mathrm{(ABC)}\) . Elle est donc, en particulier, orthogonale à la droite  \(\mathrm{(BD)}\) .

Propriétés

• Si deux droites de l'espace sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
  
• Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
  
• Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles entre eux.
  

Propriété

Soit \(d\) une droite de l'espace de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\)  et  \(P\) u n plan dirigé par les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) . La droite \(d\) et le plan   \(P\) sont orthogonaux si et seulement si  \(\overrightarrow{u}\)  est orthogonal à la fois à \(\overrightarrow{v}\)  et à \(\overrightarrow{w}\) .